导数 × 不等式：恒成立与证明的四条通路

高二 · 跨章综合专题

压轴题从不只考一个考点。本专题把导数章的「恒成立 / 不等式证明」与不等式章的「均值不等式」打通，给出四条可选择的通路，以及各自的适用时机与陷阱。

打通的关键

恒成立与不等式证明，本质是同一件事：把一个「对一切 x 成立」的要求，翻译成某个函数的最值问题。四条通路的区别，只在于你选择对谁求最值、以及能不能把参数摘出去。

何时用参数 a 能从不等式中单独解出（形如 a ≤ g(x) 或 a ≥ g(x)）

① 把参数移到一侧，整理成 a ≤ g(x)（或 ≥） ② 求 g(x) 在给定区间上的最值 ③ 「恒成立取最小、存在取最大」，据此写出 a 的范围 ④ 回代边界值验证充分性

⚠ 陷阱
端点效应：若 g 在区间端点取到最值却取不到该点（如 x→0⁺），必须用洛必达或泰勒展开求极限，不能直接代入。这是本通路最高频的失分点。

示例
f(x)=eˣ−1−x−ax² ≥ 0 对 x≥0 恒成立。分离得 a ≤ (eˣ−1−x)/x²，该函数在 (0,+∞) 递增，下确界为 x→0⁺ 的极限 1/2，故 a ≤ 1/2。

何时用参数与 x 纠缠分离不开，或分离后函数过于复杂

① 移项构造 F(x) = 左 − 右，使命题变成 F ≥ 0（或 ≤ 0） ② 求 F'(x)，判断单调与极值 ③ 求出 F 的最小值（或最大值） ④ 由最值符号反推不等式成立

⚠ 陷阱
F 的驻点若为超越方程解不出，不要硬解——改用隐零点：把 F'(x₀)=0 当作等式整体代入 F(x₀)，消掉超越项。

示例
证 ln x ≤ x−1：令 F(x)=x−1−ln x，F'(x)=1−1/x，在 x=1 处取最小值 F(1)=0，故 F(x)≥0 恒成立。

何时用含 eˣ、ln x 等超越函数，且要证的是常数界或简单式

① 写出常用放缩：eˣ ≥ x+1（等号 x=0）、ln x ≤ x−1（等号 x=1） ② 按需变形方向（如 −ln x ≥ 1−x），凑成同向可加 ③ 相加，让含 x 的项抵消，得到干净常数 ④ 检查两处放缩的取等点是否可能同时成立

⚠ 陷阱
取等点不同时，结论是严格大于而非 ≥。漏掉这一步只能得到弱结论，是常见失分点。

示例
证 eˣ − ln x > 2：由 eˣ≥x+1 与 −ln x≥1−x 相加得 ≥2，但取等需同时 x=0 与 x=1，不可能，故严格 >2。

何时用结构对称、呈和积形式，或导数求出的极值点需要进一步估计（如极值点偏移）

① 识别对称结构，写出 (a+b)/2 ≥ √ab（a,b>0）等 ② 用它把双变量合并成单变量的界 ③ 再用导数验证该界能否取到 ④ 核对等号条件 a=b 是否真的可达

⚠ 陷阱
「一正二定三相等」三条缺一不可：忘记验证等号能否取到，会得到取不到的界。

示例
极值点偏移中，由 ln(x₂/x₁)=a(x₂−x₁) 化出 ln t > 2(t−1)/(t+1)，本质即对数平均不等式，与均值不等式同源。

分离参数：ln x + 1 ≤ ax，因 x>0 得 a ≥ (ln x + 1)/x，记作 g(x)↳ x>0 可直接除，不等号方向不变；参数 a 被单独摘出
求 g'(x) = [1 − (ln x + 1)]/x² = −ln x / x²↳ 商的导数展开后，分子恰好化简成 −ln x，结构非常干净
判号：0<x<1 时 ln x<0 → g'>0，g 递增；x>1 时 g'<0，g 递减↳ 先增后减说明最大值在内部点 x=1，不是端点效应
g(1) = (0+1)/1 = 1，故 a ≥ 1↳ 恒成立取最大：a 必须不小于 g 的最大值
验证 a=1：f(x)=ln x − x + 1，f'(x)=1/x − 1，x=1 取极大 f(1)=0，故 f(x)≤0 成立↳ 必要性给出 a≥1，必须回代确认 a=1 确实可行，边界不能想当然

先试切线放缩：eˣ ≥ x+1 只能给到一次项，证不出二次项，说明放缩不够精细↳ 先判断武器是否够用，避免一上来就构造复杂函数
改构造差函数 F(x) = eˣ − 1 − x − x²/2↳ 把待证不等式移项成 F>0，走通路二
F'(x) = eˣ − 1 − x，F'(0) = 0↳ 一阶导在 0 处为 0，单看 F' 判不出符号，需要再升一阶
F''(x) = eˣ − 1 > 0（x>0），故 F' 在 (0,+∞) 单调递增↳ 二次求导把 F' 的走向钉死，这是典型场景
F'(x) > F'(0) = 0 → F 递增 → F(x) > F(0) = 0，得证↳ 逐层回推：F''>0 → F' 增 → F'>0 → F 增 → F>0，逻辑闭环